Den britiske nummer én hadde sett på kurs for en grei triumf som vant det første settet med minimalt oppstyr og deretter tatt en 5-1 ledelse i det andre, bare for sin ungarske motstander å forsvare seg på 5-5.

Norrie klarte imidlertid den påfølgende tie-breaken, 7-4, og vil møte Djokovic neste gang etter at verdens nummer én fortsatte sitt vinnende løp ved å slå Grigor Dimitrov 6-3 4-6 6-1.

Serberen ble satt på prøve av bulgareren, som – etter å ha ligget under 3-1 i andre sett – brøt to ganger for å tvinge avgjørelsen, men toppseedet og den forsvarende mesteren samlet seg for å se kampen overbevisende.

«(Jeg var) veldig solid. Jeg tror jeg kunne vunnet i strake sett,» sa den 22 ganger Grand Slam-vinner Djokovic til ATP-nettstedet.

«Jeg var ett sett og 4-2 opp og hadde en ganske grei forehand til midtbanen på to på serven hans og bommet på det.

«Han holdt serven godt, vi hadde nye baller neste kamp, ​​jeg doblet feil, publikum kom inn og kom bak ham, og selvfølgelig endret energien til spillestedet og spillet seg.

«Jeg senket nivået mitt litt, men heldigvis klarte jeg å finne det med en gang i den første kampen (av det tredje settet), tok den avgjørende pausen og flyttet på en måte farten på min side, så jeg er veldig fornøyd med hvordan Jeg lukket spillet.

Den russiske verdenstrener Daniil Medvedev tok sin første seier i turneringen med en 6-4 6-2-triumf over finske Emil Ruusuvuori og uttrykte sin lettelse over å endelig vinne en kamp i Roma.

«Vi kan snakke om alle kampene jeg tapte her, de var annerledes,» sa Medvedev til ATP-nettstedet etter å ha nådd tredje runde.

«Den første føler jeg at jeg burde ha vunnet, men det er (hva det er). Hver gang jeg kommer til en turnering, vet jeg at jeg kan spille bra, så jeg er glad for å endelig oppnå seier her i Roma.

Danmarks Holger Rune fortsatte sitt fine løp med 6-4 6-2 seier over Andy Murrays erobrer Fabio Fognini, mens Norges nummer fire Casper Ruud slo Alexander Bublik 6-1 4-6 7-6 (0).

På kvinnesiden kvalifiserte den forsvarende mesteren Iga Swiatek seg til 16-delsfinalen med en komfortabel seier over Lesia Tsurenko.

Verdens nummer én fortsatte sin sterke start på turneringen, og vant 6-2 6-0, og så frem til nok en sterk prestasjon.

«Selvfølgelig, etter en ganske rusten start, var jeg i stand til å sprette tilbake ganske raskt, så jeg er glad for å ha spilt en solid kamp,» sa hun på pressekonferansen etter kampen.

«Bare for å få en ny spillopplevelse på senterbanen… og jeg er glad det ikke regnet!»

Tsjekkiske Marie Bouzkova opprørte Coco Gauff i deres 32 siste møte, og vant 4-6 6-2 6-2 for å kaste ut det sjetteseedede USA, mens Madison Keys avanserte til 16-delsfinalen via en overraskelse etter at motstanderen Victoria Azarenka trakk seg på grunn av en bein. skade.